profesor:
Richath Prieto.
Teorema de Euclides:
El
teorema de Euclides sobre la infinitud de los
números primos es el siguiente:
El conjunto formado por los
números primos es
infinito.
Euclides (~
325 -
265 a.C)
Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra
Elementos.
1 Una adaptación común de esta demostración original
sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos
p1,
p2, ···,
pn, y se considera el producto de todos ellos más uno,
q=
p1p2 ···
pn+1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos
pi de la lista. El número
q
puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que
no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto,
entonces existirá algún factor
p que divida a
q. Suponiendo que
p es alguno de los
pi, se deduce entonces que
p divide a la diferencia
q-
p1p2 ···
pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que
p
está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se
escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no
pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se
tome.
Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a continuación:
Reformulación de Kummer
Supóngase que existe una cantidad finita de números primos
p1 <
p2 <
p3 < ... <
pr. Sea
N =
p1·
p2·
p3·...·
pr > 2. El entero
N-1, al ser producto de primos, tiene un divisor
pi que también es divisor de N; así que
pi divide a
N - (
N-1) = 1. Esto es absurdo, por lo que tiene que haber infinitos números primos.
Demostración de Hermite
Sea
n=1, 2, 3, ... y
qn el factor primo más pequeño de
n! + 1 para cada
n. Como
qn tiene que ser mayor que
n, se deduce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos, y que por tanto existen infinitos números primos.
Demostración de Stieltjes
Supóngase que existe un número finito de números primos. Sea
Q el producto de todos los números primos, y sean
m y
n dos enteros positivos con
Q =
mn.
Se tiene que todo número primo
p divide, o bien a
m, o bien a
n, pero no a ambos, es decir,
m y
n son
primos entre sí. Entonces
m+
n no puede tener ningún divisor primo, pero como es estrictamente mayor que 1, debe ser un número primo que no divide a
Q: contradicción.
Demostración de Goldbach (1730)
Esta demostración se basa en los
números de Fermat, es decir, los números de la forma :
.
Lema: Dos números de Fermat distintos Fm y Fn son primos entre sí.
|
Para cada número de Fermat F
n, escójase un divisor primo
pn. Como los números de Fermat son primos entre sí, sabemos que dos primos cualesquiera
pm y
pn son distintos. Así, hay al menos un número primo
pn por cada número de Fermat
Fn, es decir, al menos un número primo por cada número entero
n.
Esta demostración también es válida si se toma otra secuencia infinita de números naturales que son primos entre sí, como la
secuencia de Sylvester.
Otras demostraciones
Demostración de Euler
Sea
Q el producto de todos los primos. Sea φ(
n) la
función φ de Euler n y
coprimos con él. Entonces φ(
Q) es igual al producto de los números que resultan de restarle 1 a cada uno de los números primos, es decir,
definida como el número de enteros menores que
- φ(Q) = (2-1)·(3-1)·(5-1)·(7-1)·(11-1)·... = 1·2·4·6·10·...
Uno de los números enteros coprimos con
Q es 1. Aun así, hay al menos otro entero en el intervalo [2,
Q] que no tiene factor común con
Q. Ese entero no puede tener ningún factor primo, porque están todos en
Q, así que debe ser igual a 1, con lo que se llega a una contradicción.
Demostración topológica de Furstenberg (1955)
Defínase una
topología en el conjunto de los números enteros empleando progresiones aritméticas (de −∞ a +∞). Esto genera un
espacio topológico. Para cada número
p, sea A
p el conjunto de todos los múltiplos de
p. A
p es cerrado, porque su complementario es la unión de todas las demás progresiones aritméticas con diferencia
p. Ahora, sea A la unión de las progresiones A
p.
Si hay un número finito de números primos, entonces A es una unión
finita de conjuntos cerrados, y por tanto A es cerrado. Sin embargo,
todos los números enteros, salvo -1 y 1, son múltiplos de algún número
primo, así que el complementario de A es {-1, 1} que no es abierto. Esto
muestra que A no es una unión finita y que existen infinitos primos.
graficas funciones:
 |
examen de graficas funciones
|
|
